Trigonométrie du triangle rectangle
Calculez un angle ou un côté d’un triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente) — SOH-CAH-TOA.
Comment ce calcul a-t-il été fait ?
Relations utilisées (SOH-CAH-TOA) : tan(angle) = opposé ÷ adjacent = 3 ÷ 4 = 0,75 angle = arctan(0,75) = 36,87° Hypoténuse (Pythagore) = √(opposé² + adjacent²) = √(9 + 16) = 5 Autre angle = 90° − 36,87° = 53,13°
La trigonométrie du triangle rectangle : relier angles et côtés avec SOH-CAH-TOA
La trigonométrie est la branche des mathématiques qui relie les angles d’un triangle aux longueurs de ses côtés. Dans le cas le plus courant, celui du triangle rectangle, trois fonctions suffisent : le sinus, le cosinus et la tangente. Pour un angle aigu donné, on distingue le côté opposé (en face de l’angle), le côté adjacent (le long de l’angle, hors hypoténuse) et l’hypoténuse (le plus long côté, opposé à l’angle droit). Le sinus est le rapport opposé sur hypoténuse, le cosinus le rapport adjacent sur hypoténuse, et la tangente le rapport opposé sur adjacent.
Pour mémoriser ces trois rapports, on utilise le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent. Cet outil calcule instantanément le triangle rectangle complet, dans les deux sens : à partir des deux côtés de l’angle droit, il trouve les angles et l’hypoténuse ; à partir d’un angle aigu et de l’hypoténuse, il retrouve les deux côtés. Les angles sont exprimés en degrés et les longueurs arrondies pour un affichage lisible. La trigonométrie sert partout : pente d’un toit ou d’une rampe, hauteur inaccessible, cap en navigation, ou simple exercice de collège et de lycée.
Formules
sin(angle) = opposé / hypoténuseLe sinus d’un angle aigu est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et celle de l’hypoténuse. Sa valeur est toujours comprise entre 0 et 1 pour un angle entre 0 et 90 degrés. Connaissant l’angle et l’hypoténuse, on en déduit le côté opposé : opposé = hypoténuse x sin(angle).
cos(angle) = adjacent / hypoténuseLe cosinus d’un angle aigu est le rapport entre le côté adjacent (celui qui borde l’angle, sans être l’hypoténuse) et l’hypoténuse. Lui aussi vaut entre 0 et 1. Connaissant l’angle et l’hypoténuse : adjacent = hypoténuse x cos(angle). Sinus et cosinus sont liés : cos(angle) = sin(90 - angle).
tan(angle) = opposé / adjacentLa tangente est le rapport du côté opposé sur le côté adjacent ; c’est aussi le quotient sin(angle) / cos(angle). Contrairement au sinus et au cosinus, elle n’est pas bornée : elle croît de 0 vers l’infini quand l’angle passe de 0 a 90 degrés. La tangente exprime directement une pente (montée / avancée).
angle = arcsin(...) ou arccos(...) ou arctan(opposé / adjacent)Pour obtenir l’angle a partir des longueurs, on utilise les fonctions réciproques : arcsinus (arcsin ou sin puissance moins un), arccosinus (arccos) et arctangente (arctan). Connaissant les deux côtés de l’angle droit, l’angle vaut arctan(opposé / adjacent). C’est le calcul effectué par le mode a partir des cotes de cet outil.
opposé² + adjacent² = hypoténuse² ; angle + autre angle = 90°Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore relie les trois côtés : la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit égale le carré de l’hypoténuse. Par ailleurs, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut 90 degrés, puisque le troisième angle est droit et que la somme des angles d’un triangle fait 180 degrés.
Exemples
On connaît les deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle : le côté opposé mesure 3 et le côté adjacent 4. Quels sont l’angle, l’hypoténuse et le second angle ?
Tangente de l’angle : tan(angle) = opposé / adjacent = 3 / 4 = 0,75
Angle = arctan(0,75) environ 36,8699 degrés
Hypoténuse (Pythagore) = racine(3 carré + 4 carré) = racine(25) = 5
Autre angle = 90 - 36,8699 environ 53,1301 degrésAngle environ 36,87 degrés, hypoténuse 5, autre angle environ 53,13 degrés.
C’est le mode a partir des cotes de l’outil. On reconnaît le triangle 3-4-5, triplet pythagoricien classique : ses angles aigus valent environ 36,87 et 53,13 degrés.
Une rampe forme un angle de 30 degrés avec le sol et sa partie inclinée (l’hypoténuse) mesure 10 m. Quelle hauteur atteint-elle et quelle distance horizontale couvre-t-elle ?
Hauteur = côté opposé = hypoténuse x sin(30) = 10 x 0,5 = 5 m
Distance horizontale = côté adjacent = hypoténuse x cos(30) environ 10 x 0,8660 = 8,6603 m
Autre angle = 90 - 30 = 60 degrésLa rampe s’élève de 5 m et s’étend sur environ 8,66 m à l’horizontale.
C’est le mode a partir d’un angle. Le sinus donne la composante verticale (opposé), le cosinus la composante horizontale (adjacent).
Un triangle rectangle a un angle de 45 degrés et une hypoténuse de 10. Que valent ses deux côtés de l’angle droit ?
Opposé = 10 x sin(45) environ 7,0711
Adjacent = 10 x cos(45) environ 7,0711
Les deux côtés sont égaux : le triangle est isocèle rectangleLes deux côtés mesurent environ 7,07 chacun ; les deux angles aigus valent 45 degrés.
A 45 degrés, sinus et cosinus sont égaux (racine de 2 sur 2, environ 0,7071), donc opposé = adjacent. C’est la signature du triangle rectangle isocèle.
A 20 m du pied d’un arbre, on vise son sommet sous un angle de 35 degrés au-dessus de l’horizontale. Quelle est la hauteur de l’arbre (depuis l’oeil de l’observateur) ?
Le côté adjacent est la distance au sol : adjacent = 20 m
tan(35) = opposé / adjacent, donc opposé = 20 x tan(35) environ 20 x 0,7002 = 14,0042 m
Hauteur visée environ 14 m (a ajouter a la hauteur de l’oeil)L’arbre mesure environ 14 m de haut au-dessus du niveau de visée.
Ici on connaît un angle et le côté adjacent : on utilise la tangente. C’est le principe de mesure de hauteurs inaccessibles, utilisé en topographie.
Cas d’usage
La pente d’un toit ou d’une rampe se calcule avec la tangente : tan(angle) = hauteur / base. Connaissant l’inclinaison voulue et la portée, on en déduit la hauteur de faîte, ou la longueur du chevron (l’hypoténuse). Indispensable en charpente et en couverture.
Pour mesurer la hauteur d’un arbre, d’un bâtiment ou d’un pylône sans grimper, on mesure une distance au sol et un angle de visée, puis on applique la tangente. C’est la base de la topographie et de l’usage du théodolite.
En navigation, on décompose un déplacement en composantes nord-sud et est-ouest à l’aide du sinus et du cosinus de l’angle de route. Le cap, les relèvements et la position se déduisent de ces rapports trigonométriques.
Une rampe d’accès doit respecter une pente maximale (souvent exprimée en pourcentage ou en degrés). La trigonométrie relie l’angle, la longueur de la rampe et le dénivelé à franchir, pour vérifier la conformité d’un aménagement.
Sinus, cosinus, tangente et leurs réciproques sont au programme du collège et du lycée. Cet outil détaille les relations SOH-CAH-TOA utilisées et donne les angles complémentaires, pour vérifier un exercice ou comprendre une correction étape par étape.