Théorème de Thalès
Calculez une longueur manquante avec le théorème de Thalès (proportionnalité dans une configuration de droites parallèles).
Comment ce calcul a-t-il été fait ?
Configuration de Thalès : AM/AB = AN/AC On isole AC par le produit en croix : AC = (AB × AN) / AM AC = (9 × 4) / 3 = 36 / 3 = 12 Coefficient d'agrandissement : AB/AM = 9 / 3 = 3
Le théorème de Thalès : la proportionnalité des longueurs entre droites parallèles
Le théorème de Thalès relie les longueurs de segments découpés par des droites parallèles sur deux droites sécantes. Dans sa configuration la plus classique, deux droites se coupent en un point A ; deux droites parallèles entre elles, (BC) et (MN), viennent couper ces deux sécantes. Le théorème affirme alors que les rapports des longueurs sont tous égaux : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Autrement dit, le petit triangle AMN est une réduction (ou un agrandissement) du grand triangle ABC, et toutes les longueurs sont multipliées par le même coefficient. C’est l’expression géométrique de la proportionnalité, attribuée au savant grec Thalès de Milet il y a environ 2600 ans.
Cet outil calcule instantanément une longueur manquante lorsque vous connaissez trois longueurs d’une même proportion. À partir de AM, AB et AN, il détermine AC grâce au produit en croix AC = (AB x AN) / AM, et affiche au passage le coefficient d’agrandissement AB/AM. La réciproque du théorème est tout aussi précieuse : si les rapports sont égaux et les points correctement disposés, alors les droites sont parallèles, ce qui permet de prouver un parallélisme à partir de simples mesures. Thalès est l’outil de base pour calculer une hauteur inaccessible, travailler une échelle, ou traiter un agrandissement.
Formules
AM/AB = AN/AC = MN/BCC’est l’égalité fondamentale du théorème. Dans la configuration où deux droites sécantes en A sont coupées par deux parallèles (BC) et (MN), les trois rapports sont égaux. Les deux premiers comparent les segments sur chaque sécante ; le troisième compare les segments portés par les parallèles. La condition d’application est double : les points doivent être alignés sur les deux sécantes issues de A, et les droites (BC) et (MN) doivent être parallèles.
AC = (AB x AN) / AMLorsque trois longueurs d’une proportion sont connues, on retrouve la quatrième par le produit en croix. À partir de AM/AB = AN/AC, on multiplie en croix : AM x AC = AB x AN, puis on isole AC = (AB x AN) / AM. La quatrième longueur cherchée est donc toujours le produit des deux longueurs qui lui sont opposées dans la proportion, divisé par la longueur restante.
k = AB/AMLe rapport entre le grand triangle et le petit définit un coefficient k unique : toutes les longueurs du grand triangle valent k fois celles du petit. Si k est supérieur à 1, on a un agrandissement ; s’il est compris entre 0 et 1, une réduction. Ce coefficient est exactement celui d’une homothétie de centre A. Connaitre k permet de passer instantanément d’une longueur du petit triangle à la longueur correspondante du grand.
si AM/AB = AN/AC (points bien disposés) alors (MN) // (BC)La réciproque part des longueurs pour conclure au parallélisme. Si A, M, B sont alignés, A, N, C sont alignés, et que les rapports AM/AB et AN/AC sont égaux (les points M et N étant placés dans le même ordre par rapport à A), alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. C’est ce raisonnement qui permet de démontrer un parallélisme par le calcul plutôt qu’avec une équerre.
Exemples
Deux droites se coupent en A. Les parallèles (MN) et (BC) les coupent en M, N, B, C. On connait AM = 3 cm, AB = 9 cm et AN = 4 cm. Quelle est la longueur AC ?
On écrit l’égalité de Thalès : AM/AB = AN/AC, soit 3/9 = 4/AC
Produit en croix : AC = (AB x AN) / AM = (9 x 4) / 3 = 36 / 3
AC = 12 cmLa longueur AC mesure 12 cm.
Le coefficient vaut AB/AM = 9/3 = 3 : le grand triangle est trois fois plus grand. On vérifie : AN x 3 = 4 x 3 = 12, ce qui confirme AC.
Pour mesurer la hauteur d’un arbre sans grimper, on utilise un piquet. À la même heure, un piquet de 2 m projette une ombre de 1,5 m ; l’ombre de l’arbre mesure 9 m. Les rayons du soleil étant parallèles, on est dans une configuration de Thalès.
Les rayons parallèles donnent : hauteur du piquet / ombre du piquet = hauteur de l’arbre / ombre de l’arbre
2 / 1,5 = hauteur de l’arbre / 9
Hauteur de l’arbre = (2 x 9) / 1,5 = 18 / 1,5 = 12 mL’arbre mesure environ 12 m de haut.
C’est la méthode qu’aurait employée Thalès lui-même pour mesurer la hauteur des pyramides d’Égypte, en comparant l’ombre de la pyramide à celle d’un baton.
Sur un plan, un segment de 4 cm représente une façade. On veut agrandir le plan pour qu’une autre cote, mesurant 6 cm sur le plan d’origine, atteigne une longueur correspondant à un facteur déterminé par la façade portée à 10 cm.
Le coefficient d’agrandissement est k = 10 / 4 = 2,5
La cote de 6 cm devient : 6 x 2,5 = 15 cm
On retrouve le même résultat par Thalès : (10 x 6) / 4 = 60 / 4 = 15 cmLa cote agrandie mesure 15 cm.
Agrandir ou réduire une figure revient à multiplier toutes ses longueurs par un même coefficient k. C’est exactement le mécanisme d’une homothétie, et le théorème de Thalès en est la traduction sur les longueurs.
Cas d’usage
Mesurer la hauteur d’un arbre, d’un immeuble ou d’un mât sans y monter : on compare l’ombre de l’objet à celle d’un piquet de hauteur connue, ou on utilise une visée. Les rayons parallèles du soleil placent le problème dans une configuration de Thalès, et le produit en croix donne la hauteur cherchée.
Agrandir une photo, une figure ou un patron consiste à multiplier toutes les longueurs par un même coefficient. Thalès relie une longueur d’origine à la longueur agrandie via ce coefficient k, sans déformer les proportions.
Passer d’une distance réelle à une distance sur un plan, ou inversement, repose sur un rapport constant : l’échelle. Le théorème de Thalès et la quatrième proportionnelle permettent de convertir n’importe quelle cote entre le terrain et le papier.
Au collège et au lycée, Thalès sert à calculer une longueur manquante dans une figure, et sa réciproque à démontrer que deux droites sont parallèles à partir des seules longueurs. C’est un théorème central du programme, souvent associé à Pythagore et à la trigonométrie.
Partager un segment en parts proportionnelles, reporter une division d’un segment sur un autre, ou construire des longueurs proportionnelles à la règle et au compas s’appuie directement sur la proportionnalité de Thalès.