Calcul d'aire et de périmètre
Aire et périmètre du cercle, du carré, du rectangle et du triangle, avec la circonférence, la diagonale et le détail du calcul.
Comment ce calcul a-t-il été fait ?
Rectangle de longueur L = 6 et de largeur l = 4. Aire = L × l = 6 × 4 = 24 Périmètre = 2 × (L + l) = 2 × (6 + 4) = 20 Diagonale = √(L² + l²) = √(36 + 16) ≈ 7,21
Aire et périmètre des figures usuelles : cercle, carré, rectangle et triangle
L’aire et le périmètre sont les deux grandeurs de base de la géométrie plane, et il est essentiel de ne pas les confondre. L’aire mesure la surface couverte par une figure : c’est l’espace intérieur, exprimé en unités carrées (m², cm², km²…). Le périmètre, lui, mesure la longueur du contour, c’est-à-dire le tour complet de la figure, exprimé en unités de longueur (m, cm, km…). Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires très différentes, et inversement.
Cet outil calcule instantanément l’aire et le périmètre des quatre figures les plus courantes : le cercle, le carré, le rectangle et le triangle. Pour le cercle, le périmètre porte le nom de circonférence et fait intervenir le nombre π (pi), une constante qui vaut environ 3,14159. Le carré et le rectangle se traitent avec de simples produits et sommes de côtés. Le triangle, lui, a une aire égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur ; son périmètre, en revanche, nécessite de connaître la longueur des trois côtés et n’est donc pas calculé ici à partir de la seule base et hauteur. Chaque résultat est accompagné du détail du calcul, formule substituée à l’appui.
Formules
aire = π × r² ; circonférence = 2 × π × rPour un cercle, tout dépend du rayon r (la distance du centre au bord). L’aire du disque vaut π multiplié par le rayon au carré. La circonférence (le périmètre du cercle) vaut deux fois π fois le rayon. Le nombre π vaut environ 3,14159. Si vous connaissez le diamètre d plutôt que le rayon, rappelez-vous que d = 2 × r.
aire = c² ; périmètre = 4 × cLe carré a ses quatre côtés égaux, de longueur c. Son aire est le côté multiplié par lui-même (le côté au carré). Son périmètre est la somme des quatre côtés, soit quatre fois le côté. Sa diagonale, utile en construction, vaut c × √2, soit environ 1,4142 fois le côté.
aire = L × l ; périmètre = 2 × (L + l)Le rectangle est défini par sa longueur L et sa largeur l. Son aire est le produit de la longueur par la largeur. Son périmètre est deux fois la somme de la longueur et de la largeur, car il y a deux longueurs et deux largeurs. Le carré est un cas particulier de rectangle où L = l.
aire = (b × h) ÷ 2L’aire d’un triangle vaut la moitié du produit d’une base b par la hauteur h relative à cette base (la hauteur est la distance perpendiculaire de la base au sommet opposé). Cette formule fonctionne pour tout triangle, quelle que soit sa forme, du moment qu’on dispose d’une base et de la hauteur correspondante.
périmètre = a + b + cLe périmètre d’un triangle est simplement la somme de ses trois côtés a, b et c — il n’est donc pas calculable à partir de la seule base et de la hauteur. Si l’on connaît les trois côtés mais pas la hauteur, l’aire se calcule avec la formule de Héron : aire = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c)), où s = (a + b + c) ÷ 2 est le demi-périmètre.
diagonale = √(L² + l²)La diagonale d’un rectangle relie deux sommets opposés et le partage en deux triangles rectangles. Elle se calcule avec le théorème de Pythagore appliqué à la longueur et à la largeur. C’est la mesure utilisée pour définir la taille d’un écran ou vérifier l’équerrage d’un cadre.
Exemples
Vous voulez connaître la surface au sol d’un salon de 6 m de long sur 4 m de large, par exemple pour acheter le bon nombre de mètres carrés de parquet.
Longueur L = 6 m, largeur l = 4 m
Aire = L × l = 6 × 4 = 24 m²
Périmètre = 2 × (L + l) = 2 × (6 + 4) = 20 m (utile pour les plinthes)Le salon a une surface de 24 m² et un périmètre de 20 m.
Prévoyez toujours une marge de 5 à 10 % de surface en plus pour les chutes et les coupes lors de la pose d’un revêtement.
Vous aménagez une terrasse ronde de 3 m de rayon (soit 6 m de diamètre) et vous voulez connaître sa surface ainsi que la longueur de la bordure à poser tout autour.
Rayon r = 3 m
Aire = π × r² = π × 3² = π × 9 ≈ 28,27 m²
Circonférence = 2 × π × r = 2 × π × 3 ≈ 18,85 mLa terrasse fait environ 28,27 m² de surface, avec une bordure d’environ 18,85 m.
Si vous connaissez le diamètre plutôt que le rayon, divisez-le par deux avant le calcul : ici, diamètre 6 m donne un rayon de 3 m.
Le pignon d’une maison forme un triangle de 8 m de base et 3 m de hauteur. Quelle est sa surface, par exemple pour estimer la peinture ou le bardage nécessaire ?
Base b = 8 m, hauteur h = 3 m
Aire = (b × h) ÷ 2 = (8 × 3) ÷ 2 = 24 ÷ 2
Aire = 12 m²Le pignon triangulaire a une surface de 12 m².
Le périmètre n’est pas calculé ici car il faudrait connaître la longueur des deux côtés inclinés ; on peut les retrouver avec le théorème de Pythagore si l’on connaît la hauteur et la demi-base.
Vous coulez une dalle carrée de 5 m de côté pour un abri de jardin. Quelle est sa surface, son périmètre et la longueur de sa diagonale (pour vérifier l’équerrage) ?
Côté c = 5 m
Aire = c² = 5² = 25 m²
Périmètre = 4 × c = 4 × 5 = 20 m ; diagonale = 5 × √2 ≈ 7,07 mLa dalle fait 25 m², avec un périmètre de 20 m et une diagonale d’environ 7,07 m.
Mesurer la diagonale est la méthode la plus simple pour vérifier qu’un coffrage est bien d’équerre : les deux diagonales d’un carré (ou d’un rectangle) doivent être égales.
Cas d’usage
Pour estimer la quantité de peinture, de carrelage, de parquet ou de papier peint, il faut connaître la surface à couvrir. On calcule l’aire de chaque mur ou sol, puis on divise par le rendement du produit (en m² par litre ou par paquet), en ajoutant une marge pour les coupes.
Gazon en rouleau, paillage, gravier, bâche ou clôture : l’aire donne la surface à couvrir et le périmètre la longueur de bordure ou de grillage à prévoir. Une pelouse de forme rectangulaire ou circulaire se calcule en quelques secondes.
Dalles, chapes, murs et toitures se chiffrent au mètre carré. Le périmètre sert à dimensionner les plinthes, les coffrages ou les joints. La diagonale d’un carré ou d’un rectangle permet de vérifier rapidement qu’un ouvrage est bien d’équerre.
Pour découper un tissu, une plaque de bois, de verre ou de métal, on raisonne en aire (la matière consommée) et en périmètre (la longueur à couper ou à border). Connaître la diagonale évite les erreurs de format.
Aire et périmètre du cercle, du carré, du rectangle et du triangle sont au programme du primaire et du collège. Cet outil vérifie un résultat, détaille la formule employée et rappelle la distinction entre surface (unités carrées) et contour (unités de longueur).