Équation du second degré
Résolvez ax² + bx + c = 0 : discriminant, racines réelles ou complexes et forme canonique, étape par étape.
Comment ce calcul a-t-il été fait ?
Équation : 1·x² + -3·x + 2 = 0 Discriminant : Δ = b² − 4ac = -3² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1 Δ > 0 : deux racines réelles distinctes. x₁ = (−b − √Δ) ÷ (2a) = (3 − √1) ÷ 2 = 1 x₂ = (−b + √Δ) ÷ (2a) = (3 + √1) ÷ 2 = 2 Forme canonique : a·(x − α)² + β, avec α = −b ÷ (2a) = 1,5 et β = −Δ ÷ (4a) = -0,25 soit 1·(x − 1,5)² + -0,25.
L’équation du second degré : résoudre a·x² + b·x + c = 0 grâce au discriminant
Une équation du second degré est une équation de la forme a·x² + b·x + c = 0, où a, b et c sont des nombres connus et a est non nul. La condition a différent de zéro est essentielle : si a valait zéro, le terme en x² disparaîtrait et l’équation ne serait plus que du premier degré. Résoudre cette équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui l’annulent : ce sont les racines, ou solutions, de l’équation. Géométriquement, ces racines correspondent aux points où la parabole d’équation y = a·x² + b·x + c coupe l’axe des abscisses.
La méthode universelle repose sur une seule quantité : le discriminant, noté Delta (la lettre grecque delta majuscule), défini par Delta = b² − 4ac. Son signe suffit à connaître le nombre et la nature des solutions, sans même les calculer. Si le discriminant est strictement positif, l’équation admet deux racines réelles distinctes ; s’il est nul, une seule racine dite double ; s’il est négatif, aucune racine réelle, mais deux racines complexes conjuguées. Cet outil calcule instantanément le discriminant, déduit la nature des solutions, donne les racines exactes ou approchées, et fournit la forme canonique qui révèle le sommet de la parabole. Chaque étape du raisonnement est détaillée pour vérifier un exercice ou comprendre la méthode.
Formules
Δ = b² − 4acLe discriminant est la clé de toute la résolution. On le calcule à partir des trois coefficients a, b et c. Son signe, et lui seul, détermine combien de racines réelles possède l’équation : positif donne deux racines, nul une racine double, négatif aucune racine réelle. Le mot discriminant vient du latin discriminare, distinguer : il distingue les trois cas possibles.
x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a)Lorsque le discriminant est strictement positif, sa racine carrée existe et l’on obtient deux solutions réelles différentes. Les deux formules ne diffèrent que par le signe devant la racine de Delta. La parabole coupe alors l’axe des abscisses en deux points distincts, d’abscisses x1 et x2.
x₀ = −b / (2a)Quand le discriminant est nul, les deux formules précédentes donnent la même valeur : l’équation possède une unique solution, appelée racine double. La parabole est alors tangente à l’axe des abscisses : elle le touche en un seul point sans le traverser. L’équation se factorise en a·(x − x0)².
x = (−b ± i·√(−Δ)) / (2a)Si le discriminant est négatif, sa racine carrée n’existe pas dans les nombres réels : l’équation n’a aucune solution réelle. Elle admet cependant deux solutions complexes conjuguées, de la forme partie réelle plus ou moins partie imaginaire fois i, où i est l’unité imaginaire telle que i² = −1. La parabole ne coupe jamais l’axe des abscisses.
a·x² + b·x + c = a·(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = −Δ/(4a)La forme canonique réécrit le trinôme autour de son sommet. Le couple (alpha, beta) est précisément les coordonnées du sommet de la parabole : alpha est l’abscisse, beta l’ordonnée. Cette forme rend immédiat le sens de variation et l’extremum de la fonction, et c’est elle qui mène à la formule des racines.
S = x₁ + x₂ = −b/a et P = x₁ · x₂ = c/aQuand les deux racines existent, leur somme et leur produit se lisent directement sur les coefficients, sans calculer les racines elles-mêmes. Ces relations, dues à Viète, servent à vérifier un résultat, à retrouver une racine à partir de l’autre, ou à factoriser le trinôme sous la forme a·(x − x1)·(x − x2).
Exemples
Résoudre l’équation x² − 3x + 2 = 0. On identifie d’abord les coefficients, puis on calcule le discriminant avant de conclure.
Coefficients : a = 1, b = −3, c = 2
Discriminant : Delta = b² − 4ac = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
Delta est positif : deux racines réelles distinctes
x1 = (−b − racine de Delta) / (2a) = (3 − 1) / 2 = 1
x2 = (−b + racine de Delta) / (2a) = (3 + 1) / 2 = 2Les deux solutions sont x1 = 1 et x2 = 2.
Vérification par les relations de Viète : somme 1 + 2 = 3 = −b/a, produit 1 × 2 = 2 = c/a. Le trinôme se factorise en (x − 1)·(x − 2).
Résoudre l’équation x² + 2x + 1 = 0. C’est un carré parfait déguisé, ce que le discriminant va confirmer.
Coefficients : a = 1, b = 2, c = 1
Discriminant : Delta = 2² − 4 × 1 × 1 = 4 − 4 = 0
Delta est nul : une seule racine, dite racine double
x0 = −b / (2a) = −2 / 2 = −1L’équation a une racine double : x0 = −1.
On reconnait l’identité remarquable (x + 1)² = 0. La parabole est tangente à l’axe des abscisses au point d’abscisse −1 : elle le touche sans le traverser.
Résoudre l’équation x² + x + 1 = 0. Le discriminant va se révéler négatif : il n’y aura pas de solution réelle.
Coefficients : a = 1, b = 1, c = 1
Discriminant : Delta = 1² − 4 × 1 × 1 = 1 − 4 = −3
Delta est négatif : aucune racine réelle, deux racines complexes conjuguées
Partie réelle = −b / (2a) = −1 / 2 = −0,5
Partie imaginaire = racine de (−Delta) / (2a) = racine de 3 / 2 environ 0,8660Les solutions complexes sont x1 environ −0,5 − 0,8660 i et x2 environ −0,5 + 0,8660 i.
La parabole y = x² + x + 1 reste entièrement au-dessus de l’axe des abscisses : elle ne le coupe jamais, ce qui traduit l’absence de racine réelle. Les deux racines complexes sont conjuguées, c’est-à-dire symétriques par rapport à l’axe des réels.
Cas d’usage
L’équation du second degré et le discriminant sont au cœur du programme de seconde et de première. Cet outil permet de vérifier la valeur de Delta, le nombre de solutions et les racines d’un exercice, en affichant chaque étape pour comprendre la méthode plutôt que de simplement obtenir le résultat.
En prépa, à l’université ou en BTS, le trinôme du second degré intervient sans cesse : étude de signe, factorisation, résolution d’inéquations, recherche d’extremum. Disposer du discriminant, des racines et de la forme canonique en une saisie fait gagner un temps précieux lors des vérifications.
La chute des corps, le tir balistique ou le mouvement d’un projectile sont décrits par des fonctions du second degré. Trouver l’instant où un objet touche le sol, ou la portée maximale d’un lancer, revient à résoudre une équation du second degré ou à lire le sommet de la parabole.
Une fonction de coût, de recette ou de profit est souvent modélisée par un trinôme. Le sommet de la parabole, donné par la forme canonique, indique le maximum de profit ou le minimum de coût, et les racines délimitent la zone de rentabilité.
De nombreux problèmes concrets (dimensions d’un terrain d’aire donnée, encadrement d’une photo, partage d’une surface) se ramènent à une équation du second degré. On pose l’inconnue, on traduit l’énoncé, puis on résout via le discriminant.