Théorème de Pythagore
Trouvez l’hypoténuse ou un côté manquant d’un triangle rectangle, avec l’aire et le périmètre.
Comment ce calcul a-t-il été fait ?
Théorème de Pythagore : c² = a² + b² c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 c = √25 = 5 Aire = (a × b) ÷ 2 = (3 × 4) ÷ 2 = 6 Périmètre = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12
Le théorème de Pythagore : le lien entre les trois côtés d’un triangle rectangle
Le théorème de Pythagore est l’une des relations les plus fondamentales de la géométrie. Il s’énonce simplement : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit, et le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On l’écrit a carré + b carré = c carré, où c désigne l’hypoténuse. Attribué au mathématicien grec Pythagore de Samos il y a environ 2300 ans, ce résultat était déjà connu et utilisé par les Babyloniens et les Égyptiens bien avant lui pour tracer des angles droits.
Cet outil calcule instantanément le côté inconnu d’un triangle rectangle, dans les deux sens : trouver l’hypoténuse à partir des deux côtés de l’angle droit, ou retrouver un côté à partir de l’hypoténuse et de l’autre côté. Il fournit aussi l’aire et le périmètre du triangle. La réciproque du théorème est tout aussi utile : si a carré + b carré = c carré est vérifié, alors le triangle est rectangle, ce qui permet de vérifier qu’un angle est bien droit, sur un chantier comme sur un plan.
Formules
c = √(a² + b²)C’est la forme directe du théorème. a et b sont les deux côtés de l’angle droit (les cathètes) ; c est l’hypoténuse, toujours le plus long côté. La condition d’existence est que a et b soient des longueurs strictement positives. L’hypoténuse est toujours supérieure à chacun des deux autres côtés pris isolément, mais inférieure à leur somme.
b = √(c² − a²)Pour retrouver un côté de l’angle droit, on isole son carré : b carré = c carré - a carré, puis on prend la racine. Cette opération n’a de solution réelle que si c est strictement supérieur à a : un côté de l’angle droit est toujours plus court que l’hypoténuse. Si c est inférieur ou égal à a, le triangle est impossible.
si a² + b² = c² alors le triangle est rectangleLa réciproque permet de prouver qu’un angle est droit à partir des seules longueurs. On vérifie l’égalité sur le plus grand côté supposé hypoténuse. Si l’égalité est satisfaite, l’angle opposé à ce côté vaut 90 degrés. C’est le principe de l’équerre 3-4-5 utilisée par les maçons et les charpentiers.
aire = (a x b) / 2Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont perpendiculaires : l’un sert de base, l’autre de hauteur. L’aire est donc tout simplement leur produit divisé par deux. L’hypoténuse n’intervient pas dans ce calcul.
(a, b, c) entiers tels que a² + b² = c²Certains triangles rectangles ont leurs trois côtés entiers : ce sont les triplets pythagoriciens. Les plus connus sont (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) et (7, 24, 25). Tout multiple d’un triplet en est aussi un : (6, 8, 10) est le double de (3, 4, 5). Ils sont précieux pour construire des angles droits sans rapporteur.
Exemples
Sur un chantier, un maçon veut tracer un angle droit précis pour un mur. Il utilise la méthode 3-4-5 : il mesure 3 m sur une direction, 4 m sur l’autre, et vérifie que la diagonale fait bien 5 m.
Côtés de l’angle droit : a = 3 m et b = 4 m
Hypoténuse attendue : c = racine(3 carré + 4 carré) = racine(9 + 16) = racine(25)
c = 5 mSi la diagonale mesure exactement 5 m, l’angle est parfaitement droit.
Cette méthode ancestrale ne demande qu’un mètre ruban. Tout multiple fonctionne aussi : 30-40-50 cm pour un petit ouvrage, 6-8-10 m pour une grande dalle.
Un écran mesure 16 cm de large par 9 cm de haut (rapport 16:9). Quelle est la longueur de sa diagonale ?
Largeur a = 16 cm, hauteur b = 9 cm
Diagonale = racine(16 carré + 9 carré) = racine(256 + 81) = racine(337)
Diagonale environ 18,36 cmLa diagonale mesure environ 18,36 cm.
C’est exactement ainsi qu’on définit la taille d’un téléviseur ou d’un moniteur : par la diagonale. Le même calcul donne la diagonale de toute pièce, table ou panneau rectangulaire.
Une échelle de 5 m est posée contre un mur, son pied à 3 m du mur (distance de sécurité). À quelle hauteur le sommet de l’échelle touche-t-il le mur ?
L’échelle est l’hypoténuse : c = 5 m ; la distance au mur est un côté : a = 3 m
Hauteur = racine(c carré - a carré) = racine(25 - 9) = racine(16)
Hauteur = 4 mLe sommet de l’échelle atteint 4 m de hauteur.
Ici on cherche un côté manquant à partir de l’hypoténuse. Plus on éloigne le pied du mur (a augmente), plus la hauteur atteinte diminue. C’est un usage typique du mode côté manquant.
On se déplace de 600 m vers l’est puis de 800 m vers le nord. Quelle est la distance directe (à vol d’oiseau) entre le point de départ et le point d’arrivée ?
Les deux trajets sont perpendiculaires : a = 600 m, b = 800 m
Distance directe = racine(600 carré + 800 carré) = racine(360000 + 640000) = racine(1000000)
Distance = 1000 m, soit 1 kmLa distance à vol d’oiseau est de 1000 m (1 km).
Le trajet réel parcouru est de 1400 m, mais la distance directe n’est que de 1000 m. C’est le principe utilisé pour calculer une distance entre deux points dont on connaît les écarts horizontaux et verticaux.
Cas d’usage
L’équerre 3-4-5 est l’outil de base du maçon pour tracer un angle droit sans appareil : 3 unités sur un côté, 4 sur l’autre, 5 en diagonale. Indispensable pour aligner murs, fondations, dalles et cloisons perpendiculaires.
Le théorème calcule la longueur d’un chevron à partir de la portée (base) et de la hauteur de faîte, ou la pente d’un toit. La charpente repose sur des triangles rectangles dont on doit connaître les longueurs exactes.
La taille d’un téléviseur, d’un moniteur ou d’un smartphone se mesure par la diagonale, calculée depuis la largeur et la hauteur. Même principe pour découper une plaque, vérifier l’équerrage d’un cadre ou d’une porte.
Pour estimer une distance à vol d’oiseau à partir d’écarts est-ouest et nord-sud, ou une distance entre deux points de coordonnées connues, on applique directement Pythagore sur les écarts perpendiculaires.
Le théorème et sa réciproque sont au programme du collège et du lycée. Cet outil vérifie un côté calculé, valide qu’un triangle est rectangle, et détaille chaque étape du raisonnement pour contrôler un exercice.