Règle de trois : produit en croix, proportionnalité directe et inverse

La règle de trois est sans doute le calcul le plus utile du quotidien : à partir de trois valeurs connues, elle permet d’en trouver une quatrième, à condition que les grandeurs soient proportionnelles. Recette à adapter pour un nombre différent de convives, prix au kilo, conversion d’une devise, échelle d’une carte : dès qu'« autant de plus d’un côté donne autant de plus de l’autre », la règle de trois s’applique.

Ce guide explique le principe de proportionnalité et le produit en croix qui en découle, distingue la proportionnalité directe de la proportionnalité inverse, puis déroule des exemples concrets. Chaque section commence par une réponse courte, suivie de la formule et d’un calcul détaillé. Pour résoudre directement votre cas, l’outil ci-dessous attend vos trois valeurs.

Deux grandeurs sont proportionnelles quand l’une est toujours le produit de l’autre par un nombre fixe : si le prix est proportionnel à la quantité, doubler la quantité double le prix. La règle de trois exploite cette régularité. On dispose les valeurs en tableau — d’un côté A et B qui vont ensemble, de l’autre C et l’inconnue D — et l’on applique le produit en croix : D = B × C / A.

Dans l’exemple des pommes, A = 3 pommes et B = 12 € forment le couple connu ; on cherche le prix D de C = 7 pommes. Le produit en croix donne D = 12 × 7 / 3 = 84 / 3 = 28 €. On peut aussi passer par la valeur unitaire : une pomme coûte 12 / 3 = 4 €, donc 7 pommes coûtent 7 × 4 = 28 €. Les deux chemins mènent au même résultat — le produit en croix n’est qu’un raccourci de ce passage par l’unité.

La règle de trois classique suppose une proportionnalité directe : les deux grandeurs varient dans le même sens. Mais certaines situations sont inverses. Si quatre ouvriers réalisent un travail en six heures, trois ouvriers — moins nombreux — mettront plus de temps, pas moins. Ici, ce n’est pas le rapport mais le produit qui se conserve : 4 ouvriers × 6 heures = 24, donc 3 ouvriers × durée = 24, soit une durée de 24 / 3 = 8 heures.

Le réflexe à prendre est de se demander, avant de calculer, dans quel sens varie le résultat. Si « plus » entraîne « plus », la proportionnalité est directe et l’on applique le produit en croix habituel. Si « plus » entraîne « moins », elle est inverse et c’est le produit des deux grandeurs qui reste constant. Confondre les deux conduit à un résultat absurde — par exemple, conclure que moins d’ouvriers vont plus vite.

La cuisine en est l’exemple le plus familier : une recette prévue pour 4 personnes nécessite 200 g de farine ; pour 6 personnes, on calcule 200 × 6 / 4 = 300 g. La conversion d’unités ou de devises suit la même logique, à partir d’un taux de référence. Et l’échelle d’une carte n’est rien d’autre qu’une règle de trois : à l’échelle 1 / 25 000, 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité, soit 250 m, donc 4 cm représentent 4 × 250 = 1 000 m, soit 1 km.

Dans toutes ces situations, la démarche est identique : repérer la correspondance connue, vérifier que les grandeurs sont bien proportionnelles, puis appliquer le produit en croix. C’est cette universalité qui fait de la règle de trois un outil aussi précieux — la même méthode résout des problèmes en apparence très différents.

Retenez l’essentiel : la règle de trois trouve une quatrième valeur à partir de trois connues, quand les grandeurs sont proportionnelles. En proportionnalité directe, on applique le produit en croix D = B × C / A ; en proportionnalité inverse, c’est le produit des deux grandeurs qui reste constant. Le passage par la valeur unitaire offre toujours une vérification simple.

Avant de calculer, le bon réflexe est de se demander dans quel sens varie le résultat — c’est ce qui distingue le direct de l’inverse et évite les contresens. Pour appliquer la méthode à vos propres valeurs, la calculatrice ci-dessous résout votre règle de trois en direct.