Calculatrice de fractions
Additionnez, soustrayez, multipliez ou divisez deux fractions — résultat irréductible, forme décimale et étapes.
Comment ce calcul a-t-il été fait ?
Étape 1 — Dénominateur commun : on multiplie en croix. 1/2 + 1/3 = (1 × 3 + 1 × 2) / (2 × 3) = 5/6 Étape 2 — Simplification : la fraction 5/6 est déjà irréductible. Forme décimale : 5/6 = 0,83
Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions
Une fraction représente une division : le numérateur (en haut) est divisé par le dénominateur (en bas). Calculer entre deux fractions, c’est appliquer une opération — addition, soustraction, multiplication ou division — tout en gardant un résultat sous forme de fraction. La difficulté principale tient à l’addition et à la soustraction : on ne peut additionner deux fractions que si elles partagent le même dénominateur. Il faut donc d’abord les réduire au même dénominateur, appelé dénominateur commun, avant d’additionner les numérateurs.
Cet outil effectue les quatre opérations entre deux fractions et affiche trois choses : la fraction résultat sous sa forme la plus simple (irréductible), sa valeur décimale, et la fraction non simplifiée telle qu’elle apparaît juste après le calcul. La multiplication est la plus directe : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. La division revient à multiplier par l’inverse de la seconde fraction. Dans tous les cas, le résultat est ensuite simplifié grâce au plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur, pour aboutir à une fraction irréductible.
Formules
a/b + c/d = (a·d + c·b) / (b·d)Pour additionner ou soustraire, les deux fractions doivent partager le même dénominateur. La technique du produit en croix met tout le monde sur le dénominateur commun b multiplié par d : chaque numérateur est multiplié par le dénominateur de l’autre fraction. Pour la soustraction, on remplace le plus par un moins : a/b - c/d = (a·d - c·b) / (b·d). On simplifie ensuite le résultat.
a/b × c/d = (a·c) / (b·d)La multiplication ne demande aucun dénominateur commun. On multiplie les numérateurs ensemble pour obtenir le nouveau numérateur, et les dénominateurs ensemble pour le nouveau dénominateur. Le résultat se simplifie souvent : on peut simplifier avant de multiplier (en croix) ou ensuite, le résultat est identique.
a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a·d) / (b·c)Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : on retourne la seconde fraction (le numérateur devient dénominateur et inversement), puis on multiplie. La division n’est possible que si la seconde fraction est non nulle, c’est-à-dire si son numérateur c est différent de zéro.
a/b = (a ÷ p) / (b ÷ p), avec p = PGCD(a, b)Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1. Autrement dit, leur PGCD vaut 1. Pour la simplifier, on divise les deux par leur plus grand commun diviseur (PGCD), obtenu par l’algorithme d’Euclide. Le signe du résultat est porté par le numérateur ; le dénominateur est écrit positif.
valeur = numérateur ÷ dénominateurToute fraction possède une valeur décimale, obtenue en divisant le numérateur par le dénominateur. Cette valeur peut être exacte (0,5) ou périodique (1/3 = 0,3333...). L’outil affiche cette forme décimale en complément de la fraction simplifiée, utile pour comparer deux résultats ou les reporter dans un autre calcul.
Exemples
On veut additionner une demi-part et un tiers de part. Les dénominateurs diffèrent (2 et 3), il faut donc passer par un dénominateur commun.
Dénominateur commun = 2 × 3 = 6
On met chaque fraction sur 6 : 1/2 = 3/6 et 1/3 = 2/6
On additionne les numérateurs : 3/6 + 2/6 = 5/6
PGCD(5, 6) = 1 : la fraction 5/6 est déjà irréductible1/2 + 1/3 = 5/6 (environ 0,8333).
Le dénominateur commun le plus simple est ici le produit 2 × 3 = 6. Quand les dénominateurs ont un facteur commun, on peut utiliser un dénominateur plus petit (le PPCM), mais le produit fonctionne toujours.
Les deux fractions ont déjà le même dénominateur (4). La soustraction est alors immédiate : on soustrait les numérateurs.
Même dénominateur : on garde 4
On soustrait les numérateurs : (3 - 1)/4 = 2/4
PGCD(2, 4) = 2 : on simplifie
2/4 = (2÷2)/(4÷2) = 1/23/4 − 1/4 = 2/4 = 1/2 (soit 0,5).
Quand les dénominateurs sont déjà identiques, aucun produit en croix n’est nécessaire : on agit directement sur les numérateurs, puis on simplifie le résultat.
La multiplication ne demande pas de dénominateur commun. On multiplie le haut avec le haut et le bas avec le bas.
Numérateurs : 2 × 3 = 6
Dénominateurs : 3 × 4 = 12
Résultat brut : 6/12
PGCD(6, 12) = 6, donc 6/12 = 1/22/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2 (soit 0,5).
On aurait pu simplifier avant de multiplier : le 3 du numérateur de la seconde fraction s’annule avec le 3 du dénominateur de la première. Le résultat final est identique.
Diviser par 1/4 revient à se demander combien de quarts il y a dans une moitié. On multiplie par l’inverse de 1/4, c’est-à-dire par 4/1.
On retourne la seconde fraction : 1/4 devient 4/1
On multiplie : 1/2 × 4/1 = (1×4)/(2×1) = 4/2
PGCD(4, 2) = 2, donc 4/2 = 2/1
Forme décimale : 2/1 = 21/2 ÷ 1/4 = 4/2 = 2 : il y a deux quarts dans une moitié.
La division par une fraction inférieure à 1 donne un résultat plus grand que la fraction de départ, ce qui surprend souvent : diviser par 1/4 revient à multiplier par 4.
Cas d’usage
Adapter une recette demande souvent d’additionner ou de multiplier des fractions : ajouter 1/2 verre puis 1/3 de verre, ou diviser par deux une quantité de 3/4 de tasse. L’outil donne immédiatement la fraction résultat et sa valeur décimale pour doser sans erreur.
Les longueurs en pouces ou les cotes de plans s’expriment fréquemment en fractions (3/4, 5/8). Additionner deux découpes ou retrancher une marge revient à faire une opération sur des fractions, avec mise au même dénominateur.
La maîtrise des opérations sur les fractions est un point central du programme de mathématiques. L’outil détaille chaque étape — dénominateur commun, multiplication par l’inverse, simplification par le PGCD — pour vérifier un exercice ou comprendre une correction.
Combiner des probabilités exprimées en fractions (1/2, 1/6) suppose de les additionner ou de les multiplier selon les cas. Le résultat sous forme de fraction irréductible est souvent plus parlant que sa valeur décimale approchée.
Répartir une somme en parts fractionnaires, cumuler des quotes-parts (1/3 puis 1/4) ou comparer des proportions passe par l’arithmétique des fractions. La forme décimale facilite ensuite la conversion en pourcentage ou en euros.