Équation du premier degré
Résolvez ax + b = c et isolez l’inconnue x, avec les étapes et les cas particuliers.
Comment ce calcul a-t-il été fait ?
Équation : a·x + b = c, soit 2·x + 3 = 7 On isole le terme en x : a·x = c − b 2·x = 7 − 3 = 4 On divise par a : x = (c − b) / a x = 4 / 2 = 2
L’équation du premier degré : isoler l’inconnue pour trouver x
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité de la forme a·x + b = c, où x est l’inconnue à déterminer, et a, b, c sont des nombres connus. On la dit du premier degré parce que l’inconnue x n’apparaît qu’à la puissance 1 : pas de x au carré, pas de racine, pas de x au dénominateur. C’est le type d’équation le plus simple et le plus fréquent, le premier que l’on apprend à résoudre au collège, et celui qui sert de brique de base à toute l’algèbre.
Résoudre une telle équation, c’est isoler l’inconnue : on regroupe les termes en x d’un côté, les nombres de l’autre, jusqu’à obtenir x tout seul. Pour a·x + b = c, on retranche b aux deux membres (a·x = c − b), puis on divise par a (x = (c − b) / a). Cet outil applique exactement cette démarche et affiche le résultat ainsi que chaque étape. Il gère aussi les deux cas particuliers où a = 0 : l’équation peut alors n’avoir aucune solution, ou en avoir une infinité, selon que b et c sont égaux ou non.
Formules
a·x + b = c ⟹ x = (c − b) / aC’est la résolution standard, valable dès que a est différent de zéro. On procède en deux gestes : d’abord soustraire b aux deux membres pour isoler le terme en x (a·x = c − b), ensuite diviser les deux membres par a. Chaque opération est appliquée des deux côtés du signe égal, ce qui préserve l’égalité. Le résultat est une solution unique.
a·x = c − bAvant la division finale, l’équation passe toujours par cette forme, où le terme en x est seul dans le membre de gauche. C’est l’étape clé : tant que l’inconnue partage son membre avec une constante, on n’a pas fini. Cette forme rend aussi visible le rôle de a : c’est le nombre par lequel il faudra diviser pour conclure.
si a = 0 et b ≠ c : aucune solutionQuand le coefficient de x vaut zéro, l’inconnue disparaît de l’équation, qui se réduit à l’égalité de deux nombres : b = c. Si ces deux nombres sont différents, l’égalité est fausse et aucune valeur de x ne pourra la rendre vraie. L’équation n’a alors aucune solution ; on dit qu’elle est impossible.
si a = 0 et b = c : tout réel convientToujours avec a = 0, si les deux nombres restants sont égaux (b = c), l’égalité est vraie quelle que soit la valeur donnée à x : l’inconnue ne change rien puisque son coefficient est nul. L’équation est alors une identité : elle admet une infinité de solutions, à savoir l’ensemble des nombres réels.
remplacer x par sa valeur et vérifier a·x + b = cUne fois x trouvé, on contrôle le résultat en réinjectant la valeur dans l’équation de départ. Si le membre de gauche redonne bien le membre de droite, la solution est correcte. C’est un réflexe précieux en examen pour détecter une erreur de calcul, et l’outil détaille ce contrôle dans les étapes.
Exemples
On cherche le nombre qui, multiplié par 2 puis augmenté de 3, donne 7. Cela se traduit par l’équation 2·x + 3 = 7.
Équation de départ : 2·x + 3 = 7
On retranche 3 aux deux membres : 2·x = 7 − 3 = 4
On divise les deux membres par 2 : x = 4 / 2
x = 2L’équation admet une solution unique : x = 2.
Vérification : 2 × 2 + 3 = 4 + 3 = 7, ce qui correspond bien au second membre. C’est le cas le plus courant : dès que a est différent de zéro, il existe exactement une solution.
Résolvons 2·x + 1 = 2. Rien ne garantit que la solution soit un nombre entier, et c’est très fréquent.
Équation de départ : 2·x + 1 = 2
On retranche 1 aux deux membres : 2·x = 1
On divise par 2 : x = 1 / 2
x = 0,5La solution est x = 0,5.
La solution d’une équation du premier degré est très souvent un nombre décimal ou fractionnaire. Il n’y a pas lieu de s’en étonner : x = (c − b) / a donne une fraction dès que c − b n’est pas un multiple de a.
Considérons 0·x + 2 = 5. Le coefficient de x est nul, ce qui change radicalement la situation.
Équation de départ : 0·x + 2 = 5
Le terme 0·x vaut zéro : il disparaît
Il reste l’égalité 2 = 5
Or 2 n’est pas égal à 5 : l’égalité est fausseAucune valeur de x ne convient : l’équation n’a aucune solution.
Quand a = 0 et que les constantes diffèrent, l’équation est dite impossible. Aucun nombre ne peut rendre vraie une égalité fausse, puisque x n’intervient plus du tout.
Examinons 0·x + 3 = 3. Là encore le coefficient de x est nul, mais les deux constantes sont égales.
Équation de départ : 0·x + 3 = 3
Le terme 0·x vaut zéro : il disparaît
Il reste l’égalité 3 = 3
Cette égalité est vraie quel que soit xTout nombre réel est solution : il y a une infinité de solutions.
On parle alors d’identité : l’égalité est vérifiée pour n’importe quelle valeur de x. C’est l’opposé du cas précédent, et tous deux n’apparaissent que lorsque a = 0.
Cas d’usage
L’équation du premier degré est le premier outil algébrique enseigné, dès la classe de cinquième. Cet outil sert à vérifier un résultat d’exercice, à comprendre la méthode d’isolation étape par étape, et à réviser avant un contrôle en testant ses propres équations.
Beaucoup de problèmes concrets — partage, âge, prix, distance — se ramènent à une équation a·x + b = c une fois l’inconnue nommée. Une fois le problème traduit, l’outil donne la valeur de l’inconnue et le détail de la résolution.
Combien d’articles puis-je acheter avec un budget donné après des frais fixes ? À partir de quelle durée un abonnement devient-il rentable ? Ces questions reviennent à isoler une inconnue dans une relation linéaire, exactement ce que résout le premier degré.
De nombreuses lois physiques et conversions (températures, proportionnalité avec décalage, lecture inverse d’une formule affine) sont du premier degré. Résoudre a·x + b = c permet de retrouver la grandeur d’entrée à partir d’un résultat connu.
Maîtriser l’isolation de l’inconnue au premier degré est le socle indispensable avant d’aborder les systèmes, les inéquations et le second degré. La même logique — faire la même opération aux deux membres — s’y retrouve partout.