Convertisseur de bases (binaire, octal, décimal, hexadécimal)
Convertissez un nombre entre binaire, octal, décimal et hexadécimal — pour l’informatique, les couleurs et les permissions Unix.
Comment ce calcul a-t-il été fait ?
Valeur saisie : 255 en base décimale (base 10) Elle vaut 255 en décimal (base 10). Écritures équivalentes : • Binaire (base 2) : 11111111 • Octale (base 8) : 377 • Décimale (base 10) : 255 • Hexadécimale (base 16) : FF Avec les préfixes usuels : 0b11111111 | 0o377 | 0xFF
Binaire, octal, décimal, hexadécimal : convertir un nombre d’une base à l’autre
Une base de numération est la quantité de symboles utilisés pour écrire les nombres. Nous comptons d’ordinaire en base 10 (décimal), avec dix chiffres de 0 à 9, parce que nous avons dix doigts. Mais les ordinateurs raisonnent autrement : ils ne connaissent que deux états, le 0 et le 1, c’est-à-dire la base 2 (binaire). Pour rendre ces longues suites de 0 et de 1 lisibles, les informaticiens utilisent aussi la base 8 (octal) et surtout la base 16 (hexadécimal). Ce convertisseur calcule instantanément les quatre écritures d’un même entier à partir d’une seule valeur saisie.
Le principe est simple : un même nombre, par exemple 255, s’écrit 11111111 en binaire, 377 en octal, 255 en décimal et FF en hexadécimal. Ce sont quatre habillages d’une seule et même quantité. La base 16 ajoute six symboles aux dix chiffres habituels : les lettres A, B, C, D, E et F représentent les valeurs 10 à 15. Pour lever toute ambiguïté, on préfixe souvent l’écriture par 0b en binaire, 0o en octal et 0x en hexadécimal (ainsi 0xFF se lit sans hésitation comme un nombre hexadécimal). Saisissez un entier positif dans la base de votre choix : l’outil accepte les lettres hexadécimales en majuscules comme en minuscules, et affiche les quatre représentations équivalentes.
Formules
valeur = Sigma ( chiffre_i x base^i )
binaire : base = 2
octal : base = 8
décimal : base = 10
hexadécimal : base = 16Dans toute base, chaque chiffre pèse une puissance de la base selon sa position, en partant de la droite (position 0). C’est le principe de la numération de position. Le chiffre le plus à droite vaut base^0 = 1, le suivant base^1, puis base^2, et ainsi de suite.
décimal = c_n x base^n + ... + c_1 x base^1 + c_0 x base^0On multiplie chaque chiffre par la puissance de la base correspondant à sa position, puis on additionne le tout. En hexadécimal, on remplace d’abord les lettres par leur valeur : A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
on divise par la base, on note le reste, on recommence avec le quotient ;
les restes lus de bas en haut donnent le résultatC’est la méthode reine pour passer du décimal vers le binaire, l’octal ou l’hexadécimal. On divise le nombre par la base, on garde le reste, puis on divise le quotient obtenu, et on répète jusqu’à un quotient nul. La lecture des restes du dernier au premier donne l’écriture cherchée.
binaire -> octal : paquets de 3 bits
binaire -> hexadécimal : paquets de 4 bitsParce que 8 = 2^3 et 16 = 2^4, on convertit binaire et octal (ou hexadécimal) sans repasser par le décimal. On regroupe les bits par trois (octal) ou par quatre (hexadécimal) en partant de la droite, puis on traduit chaque paquet par un seul chiffre. C’est pour cela que l’hexadécimal est si pratique : un octet (8 bits) tient en exactement deux chiffres hexadécimaux.
Exemples
Le nombre 255 revient sans cesse en informatique : c’est la plus grande valeur tenant sur un octet (8 bits). Comment s’écrit-il en binaire, en octal et en hexadécimal ?
Décimal -> binaire : 255 = 128+64+32+16+8+4+2+1, soit huit 1 -> 11111111
Décimal -> octal : 255/8=31 r7, 31/8=3 r7, 3/8=0 r3 -> 377
Décimal -> hexadécimal : 255/16=15 r15 (F), 15/16=0 r15 (F) -> FF255 (décimal) = 11111111 (binaire) = 377 (octal) = FF (hexadécimal)
255 est le maximum d’un octet non signé : huit bits tous à 1. En hexadécimal il s’écrit FF, ce qui explique pourquoi les couleurs web vont de 00 à FF par canal. La valeur 256 (= 255 + 1) ne tient plus sur un octet : il faut un bit de plus.
Une feuille de style CSS définit une couleur par le code #1E90FF (le bleu dodger). Que valent ses composantes rouge, vert et bleu en décimal ?
Le code se découpe en trois octets : 1E (rouge), 90 (vert), FF (bleu)
Rouge : 1E = 1x16 + 14 = 30
Vert : 90 = 9x16 + 0 = 144
Bleu : FF = 15x16 + 15 = 255#1E90FF correspond à rgb(30, 144, 255) en décimal
Un code couleur #RRGGBB est simplement trois octets en hexadécimal, un par canal (rouge, vert, bleu), chacun de 00 à FF (soit 0 à 255). Deux chiffres hexadécimaux suffisent par canal, ce qui rend la notation compacte et lisible : c’est l’usage le plus courant de l’hexadécimal au quotidien.
Sur un serveur, une commande chmod 755 fixe les droits d’un fichier. Ces trois chiffres sont en octal : que signifient-ils une fois traduits en binaire ?
Chaque chiffre octal tient sur 3 bits (lecture=4, écriture=2, exécution=1)
7 en octal = 111 en binaire -> lecture + écriture + exécution (propriétaire)
5 en octal = 101 en binaire -> lecture + exécution (groupe)
5 en octal = 101 en binaire -> lecture + exécution (autres)chmod 755 = 111 101 101 en binaire = rwxr-xr-x
Les permissions Unix sont l’usage emblématique de l’octal : trois groupes de trois bits (propriétaire, groupe, autres) se résument à trois chiffres de 0 à 7. C’est précisément parce que 3 bits couvrent les valeurs 0 à 7 que l’octal colle parfaitement à ce besoin.
Un exercice donne le nombre binaire 10110. Comment obtenir sa valeur décimale, puis son écriture hexadécimale ?
Binaire -> décimal : 1x16 + 0x8 + 1x4 + 1x2 + 0x1 = 16+4+2 = 22
Binaire -> hexadécimal par paquets de 4 bits (depuis la droite) : 0001 0110
0001 = 1 et 0110 = 6 -> 16 en hexadécimal
Vérification : 16 en hexadécimal = 1x16 + 6 = 22 en décimal10110 (binaire) = 22 (décimal) = 16 (hexadécimal)
Attention au piège de lecture : 16 écrit en hexadécimal ne vaut pas seize mais vingt-deux. C’est tout l’intérêt des préfixes (0x16) ou de préciser la base, pour éviter de confondre une valeur hexadécimale avec son homographe décimal.
À quoi servent les différentes bases ?
Tout ordinateur stocke et traite l’information en binaire, car un circuit électronique ne distingue que deux états : courant ou pas de courant, 0 ou 1. Un bit est cette unité élémentaire ; huit bits forment un octet. Le binaire est donc le langage natif des processeurs, de la mémoire et du stockage. Le convertir en décimal aide à comprendre ce que représentent concrètement ces suites de 0 et de 1.
L’hexadécimal est partout en développement : les couleurs web s’écrivent #RRGGBB (trois octets), les adresses mémoire et les adresses MAC s’affichent en hexadécimal, et les éditeurs de code montrent les octets bruts d’un fichier en hexadécimal. Sa force : un octet tient en exactement deux chiffres (00 à FF), ce qui rend la notation compacte tout en restant directement liée au binaire.
L’octal a un usage emblématique : les droits de fichiers sous Linux et macOS. La commande chmod 755 ou chmod 644 utilise trois chiffres octaux pour décrire les permissions de lecture, d’écriture et d’exécution. Comme 8 = 2^3, chaque chiffre octal résume exactement trois bits, ce qui colle parfaitement aux trois permissions d’un groupe d’utilisateurs.
Le décimal reste la base que nous lisons et calculons spontanément. Convertir vers le décimal permet de donner du sens à une valeur binaire ou hexadécimale : savoir que 0xFF vaut 255, ou que le binaire 1010 vaut 10, ramène le nombre à une grandeur intuitive. Le décimal sert ainsi de pivot mental entre les bases techniques et notre compréhension quotidienne.
La conversion de bases est un classique des cours d’informatique, des sujets de NSI au lycée et des entretiens d’embauche en développement. Maîtriser les divisions successives, le développement des puissances et le regroupement par paquets de bits est un savoir-faire de base. Cet outil permet de vérifier instantanément un calcul fait à la main et de s’entraîner sur des exemples variés.
Table de correspondance de 0 à 16
| Décimal | Binaire | Octal | Hexadécimal |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
On voit bien les seuils : l’octal repart à deux chiffres dès 8 (= 10 en octal), l’hexadécimal utilise les lettres A à F pour 10 à 15 puis repart à 10 pour seize. À 16, le binaire occupe déjà cinq bits. Cette table sert de repère pour vérifier mentalement une conversion.