Calculatrice de statistiques
Moyenne, médiane, mode, étendue, variance et écart-type d’une série de nombres, avec les formules.
Séparez les valeurs par des virgules, des points-virgules ou des espaces (décimales avec un point).
Comment ce calcul a-t-il été fait ?
Série (5 valeurs) : 2 ; 4 ; 4 ; 6 ; 8 Somme = 24 Moyenne = somme ÷ n = 24 ÷ 5 = 4,8 Médiane = 4 Mode = 4 Min = 2 ; Max = 8 ; Étendue = max − min = 6 Variance (population, ÷ n) = 4,16 Écart-type (population) = √4,16 = 2,04 Écart-type (échantillon, ÷ (n−1)) = √5,2 = 2,28
Les statistiques descriptives : résumer une série de nombres en quelques indicateurs
Les statistiques descriptives servent à résumer, décrire et comprendre une série de données chiffrées sans la parcourir nombre par nombre. Face à une liste de notes, de mesures, de températures ou de prix, on cherche deux choses : où se situe le centre de la série, et à quel point les valeurs s’en écartent. Le premier aspect relève de la tendance centrale (moyenne, médiane, mode), le second de la dispersion (étendue, variance, écart-type). Ensemble, ces indicateurs donnent une photographie fidèle de la série.
Cet outil calcule instantanément, à partir d’une simple liste de nombres, l’effectif, la somme, la moyenne, la médiane, le mode, le minimum, le maximum, l’étendue, la variance et l’écart-type — à la fois en version population (division par n) et en version échantillon (division par n moins un). Saisissez vos valeurs séparées par une virgule, un point-virgule, un espace ou un retour à la ligne ; les décimales s’écrivent au point. La moyenne donne le niveau moyen, la médiane le point qui partage la série en deux moitiés égales, et l’écart-type mesure la régularité : plus il est faible, plus les valeurs sont resserrées autour de la moyenne.
Formules
moyenne = (x1 + x2 + ... + xn) / nLa moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre n. C’est l’indicateur de tendance centrale le plus courant. Elle tient compte de chaque valeur, ce qui la rend exacte mais aussi sensible aux valeurs extrêmes : une seule donnée très haute ou très basse peut la déplacer nettement.
médiane = valeur centrale de la série triéeOn trie d’abord la série par ordre croissant. Si l’effectif n est impair, la médiane est la valeur du milieu. S’il est pair, c’est la moyenne des deux valeurs centrales. La médiane partage la série en deux moitiés de même effectif : une moitié des valeurs lui sont inférieures, l’autre moitié supérieures. Au contraire de la moyenne, elle résiste aux valeurs aberrantes.
mode = valeur la plus fréquenteLe mode est la valeur qui revient le plus souvent dans la série. Une série peut n’avoir aucun mode (toutes les valeurs distinctes), un seul mode (unimodale) ou plusieurs (bimodale, multimodale). C’est le seul indicateur de tendance centrale utilisable sur des données non chiffrées, comme une couleur ou une catégorie.
étendue = max - minL’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. C’est la mesure de dispersion la plus simple : elle indique l’amplitude totale de la série. Son défaut est de ne dépendre que des deux valeurs extrêmes, donc d’être très sensible aux valeurs aberrantes et insensible à la répartition interne.
variance = somme((xi - moyenne)^2) / nLa variance mesure la dispersion en moyennant les écarts au carré par rapport à la moyenne. On élève chaque écart au carré (pour éviter que les écarts positifs et négatifs s’annulent), on additionne, puis on divise par n. La version population (division par n) s’emploie quand la série couvre l’ensemble complet étudié. Son unité est celle des données au carré.
écart-type = racine(variance)L’écart-type est la racine carrée de la variance ; il revient à l’unité des données, ce qui le rend lisible directement. Il existe deux versions : population (variance divisée par n) et échantillon (variance divisée par n moins un, dite correction de Bessel). On prend la version échantillon quand les données forment un échantillon servant à estimer une population plus large. L’écart-type d’échantillon n’a de sens qu’à partir de deux valeurs.
Exemples
Un étudiant a obtenu les notes 8, 12, 14, 14 et 17 sur 20 au cours du trimestre. On veut un résumé complet : moyenne, médiane, mode et dispersion.
Effectif n = 5 ; somme = 8 + 12 + 14 + 14 + 17 = 65
Moyenne = 65 / 5 = 13
Série triée : 8, 12, 14, 14, 17 ; médiane = valeur centrale = 14
Mode = 14 (note obtenue deux fois)
Étendue = 17 - 8 = 9Moyenne 13, médiane 14, mode 14, étendue 9.
La médiane (14) est supérieure à la moyenne (13) : la note basse de 8 tire la moyenne vers le bas, alors que la médiane n’en est pas affectée. C’est typique d’une série qui comporte une valeur faible isolée.
Deux machines remplissent des bouteilles. Machine A : 49, 50, 51 cl. Machine B : 45, 50, 55 cl. Les deux ont la même moyenne de 50 cl ; laquelle est la plus régulière ?
Moyenne A = (49 + 50 + 51) / 3 = 50 ; moyenne B = (45 + 50 + 55) / 3 = 50
Machine A : écarts au carré = 1 + 0 + 1 = 2 ; variance population = 2 / 3 = 0,667 ; écart-type = 0,82 cl
Machine B : écarts au carré = 25 + 0 + 25 = 50 ; variance population = 50 / 3 = 16,67 ; écart-type = 4,08 clMême moyenne (50 cl), mais écart-type 0,82 cl pour A contre 4,08 cl pour B : la machine A est bien plus régulière.
Cet exemple montre pourquoi la moyenne seule ne suffit pas : c’est l’écart-type qui révèle la régularité. Deux séries identiques en moyenne peuvent être très différentes en dispersion.
On relève les températures de midi sur quatre jours : 18, 21, 23 et 26 degrés. Quelle est la température médiane ?
Effectif n = 4 (pair)
Série déjà triée : 18, 21, 23, 26
Les deux valeurs centrales sont 21 et 23
Médiane = (21 + 23) / 2 = 22 degrésLa température médiane est de 22 degrés.
Quand l’effectif est pair, aucune valeur unique n’occupe le centre : on prend la moyenne des deux valeurs centrales. Ici la médiane (22) ne figure même pas dans la série d’origine.
Cas d’usage
Calculer la moyenne d’un trimestre, situer une note par rapport à la médiane de la classe, repérer la dispersion des résultats. L’écart-type indique si le groupe est homogène ou très étalé.
En atelier ou en laboratoire, on résume une série de mesures répétées : la moyenne donne la valeur centrale, l’écart-type la fidélité. Un faible écart-type signale un procédé stable et reproductible.
Températures de la semaine, dépenses mensuelles, temps de trajet, consommations : toute liste de relevés se résume par sa moyenne, sa médiane et son étendue pour en dégager rapidement l’essentiel.
Suivre une série de temps, de scores ou de distances. La moyenne mesure le niveau, l’écart-type la régularité, l’étendue l’amplitude entre la meilleure et la moins bonne performance.
Au collège, au lycée et dans le supérieur, le calcul de la moyenne, de la médiane, du mode, de l’étendue et de l’écart-type est au programme. L’outil détaille chaque étape pour vérifier un exercice.